Définition :
Soit \(n\geqslant2\) un entier
On dit que \(a\) est congru à \(b\) modulo \(n\) si \(n\) divise \(b-a\)
On note alors $$a\equiv b\pmod n$$
On note aussi parfois \(a=b\pmod n\) ou \(a\equiv b\;[n]\)
Une autre formulation est : $$a\equiv b\pmod n\iff\exists k\in{\Bbb Z},a=b+nk$$
Classe d'équivalence modulo n
Propriétés
Proposition :
La relation "congru modulo \(n\)" est une relation d'équivalence
(Relation d'équivalence)
Opérations
Addition
Proposition :
Si \(a\equiv b\pmod n\) et \(c\equiv d\pmod n\), alors $$a+c\equiv b+d\pmod n$$
Multiplication de congruences
Puissance
Proposition :
Si \(a\equiv b\pmod n\), alors pour tout \(k\geqslant0\), $$a^k\equiv b^k\pmod n$$
